Resolva Xyz: Equações E Números Reais

E aí, galera da matemática! Hoje vamos desvendar um probleminha que parece complicado à primeira vista, mas que, com um pouco de raciocínio, fica moleza. Estamos falando de um sistema de três equações onde o objetivo é descobrir o valor de xyz. As equações são:

1. $x + y + z = 6$
2. $xy + xz + yz = 11$
3. $xyz = ?$

E a pegadinha é que $x$, $y$ e $z$ são números reais positivos. Vamos nessa desbravar como chegar à resposta correta e entender o caminho que nos leva até ela. Preparem seus lápis e cadernos (ou apenas seus cérebros afiados!), porque a jornada pela matemática começa agora!

A Chave Mestra: Relações de Girard

Para resolvermos esse tipo de problema envolvendo somas, produtos e somas de produtos de raízes de um polinômio, a gente geralmente recorre às Relações de Girard, pessoal. Essas relações são um conjunto de fórmulas que conectam os coeficientes de um polinômio às somas e produtos de suas raízes. No nosso caso, podemos pensar em $x$, $y$ e $z$ como as raízes de um polinômio de terceiro grau. Vamos construir esse polinômio! Um polinômio de terceiro grau com raízes $x$, $y$ e $z$ pode ser escrito na forma:

$P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)$

Expandindo isso, a gente chega em:

$P(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz$

Olhem só que coincidência bacana! Os coeficientes desse polinômio estão diretamente relacionados com as informações que já temos nas nossas equações. A equação (1) nos dá a soma das raízes ($x + y + z$), e a equação (2) nos dá a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas ($xy + xz + yz$). A grande sacada é que, ao substituir os valores que conhecemos nessas relações, conseguimos deduzir o termo que nos falta, que é o produto das raízes ($xyz$).

Sabemos que $x + y + z = 6$ e que $xy + xz + yz = 11$. Substituindo esses valores na forma geral do polinômio, ficamos com:

$P(t) = t^3 - (6)t^2 + (11)t - xyz$

$P(t) = t^3 - 6t^2 + 11t - xyz$

Nosso objetivo é encontrar o valor de $xyz$. Para isso, precisamos encontrar um valor para $t$ que seja uma raiz desse polinômio, ou seja, um valor de $t$ tal que $P(t) = 0$. Se $x$, $y$ e $z$ são as raízes, então $P(x) = 0$, $P(y) = 0$ e $P(z) = 0$. Isso significa que se substituirmos $x$, $y$ ou $z$ no lugar de $t$, a equação deve ser satisfeita.

Vamos pensar no seguinte: se $t$ for uma das raízes ($x$, $y$, ou $z$), então $t^3 - 6t^2 + 11t - xyz = 0$. Isso implica que $xyz = t^3 - 6t^2 + 11t$. Essa relação nos diz que o valor de $xyz$ é igual ao valor da expressão $t^3 - 6t^2 + 11t$ quando $t$ é uma das raízes reais e positivas do nosso polinômio. A grande questão é: quais são esses valores de $t$? Precisamos encontrar um valor de $t$ que, ao ser substituído na expressão, nos dê um resultado consistente com as opções que temos (6, 8, 10, 12).

Testando as Opções e Encontrando a Solução

Agora, galera, é hora de testar as opções que nos foram dadas na questão. A ideia é encontrar um valor para $xyz$ que faça sentido dentro desse sistema. Se um dos valores propostos for o correto, então deve existir um conjunto de $x, y, z$ que satisfaça todas as condições. Vamos testar a opção (c), que diz que $xyz = 6$.

Se $xyz = 6$, então o nosso polinômio seria:

$P(t) = t^3 - 6t^2 + 11t - 6$

Agora, o pulo do gato é tentar encontrar as raízes desse polinômio. Se $x$, $y$ e $z$ forem as raízes, e sabendo que são números reais positivos, vamos tentar algumas substituições simples para ver se encontramos algum valor de $t$ que resulte em $P(t) = 0$. As raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros devem ser divisores do termo independente (neste caso, -6). Os divisores de 6 são ±1, ±2, ±3, ±6.

Vamos testar $t=1$: $P(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Bingo! Encontramos uma raiz: $t=1$. Isso significa que um dos nossos números ($x$, $y$, ou $z$) pode ser 1.

Agora, se 1 é uma raiz, podemos dividir o polinômio $t^3 - 6t^2 + 11t - 6$ por $(t - 1)$ para encontrar as outras raízes. Usando a divisão de polinômios (ou o método de Briot-Ruffini), encontramos:

$(t^3 - 6t^2 + 11t - 6) \div (t - 1) = t^2 - 5t + 6$

Agora, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática $t^2 - 5t + 6 = 0$. Podemos fatorar essa equação:

$(t - 2)(t - 3) = 0$

As raízes dessa equação são $t = 2$ e $t = 3$.

Então, as raízes do nosso polinômio $t^3 - 6t^2 + 11t - 6$ são $t=1$, $t=2$ e $t=3$. Isso significa que podemos ter $x=1$, $y=2$ e $z=3$ (ou qualquer permutação desses valores).

Vamos verificar se esses valores satisfazem as equações originais:

1. $x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6$. (Correto!)
2. $xy + xz + yz = (1)(2) + (1)(3) + (2)(3) = 2 + 3 + 6 = 11$. (Correto!)
3. $xyz = (1)(2)(3) = 6$. (Correto!)

Como encontramos um conjunto de números reais positivos ($1, 2, 3$) que satisfazem todas as três condições e resultam em $xyz = 6$, podemos afirmar com certeza que a resposta correta é 6.

Entendendo a Relação com as Opções

Por que testar $xyz=6$ primeiro? Na verdade, poderíamos testar qualquer uma das opções. Se tivéssemos testado outra opção, digamos $xyz = 10$, o polinômio seria $P(t) = t^3 - 6t^2 + 11t - 10$. Tentando as raízes racionais (divisores de 10: ±1, ±2, ±5, ±10), veríamos que nenhuma delas resulta em $P(t)=0$. Por exemplo, $P(1) = 1 - 6 + 11 - 10 = -4 eq 0$. $P(2) = 8 - 24 + 22 - 10 = -4 eq 0$. $P(5) = 125 - 150 + 55 - 10 = 20 eq 0$. Isso indicaria que $xyz=10$ não é a resposta correta, pois não resultaria em raízes reais positivas que satisfaçam as equações originais.

A beleza das Relações de Girard é que elas garantem que, se existem $x, y, z$ reais e positivos satisfazendo as duas primeiras equações, então eles são as raízes de um polinômio de terceiro grau com coeficientes definidos por essas somas. A questão é encontrar qual valor de $xyz$ completa esse polinômio de forma que ele tenha raízes reais positivas. Ao testarmos a opção $xyz = 6$, encontramos um polinômio cujas raízes são precisamente $1, 2, 3$, que são números reais positivos e satisfazem as condições iniciais. Por isso, a alternativa (a) é a correta.

Conclusão: A Resposta é 6!

Então, galera, como vimos, utilizando as Relações de Girard e testando as opções fornecidas, chegamos à conclusão de que o valor de $xyz$ é 6. As raízes $x=1$, $y=2$ e $z=3$ (ou qualquer permutação delas) satisfazem perfeitamente as equações $x + y + z = 6$ e $xy + xz + yz = 11$, e consequentemente, $xyz = 6$. A matemática pode ser um quebra-cabeça fascinante, e desvendar esses mistérios é uma satisfação enorme! Continuem praticando e explorando o mundo dos números, porque sempre há algo novo para aprender e descobrir. Até a próxima, matemáticos de plantão!